Selasa, 30 Juli 2013

SISTEM PERSAMAAN LINEAR & PERTIDAKSAMAAN SATU VARIABEL


PROGRAM LINEAR
1. Menentukan Nilai Optimum 
Hal yang harus diperhatikan dalam menyelesaikan soal dengan program linier : 
a. Tentukan model matematikanya
b. Gambar grafik dari model tersebut
c. Tentukan daerah himpunan penyelesaian
d. Tentukan titik-titik verteks (pojok)
2. Persamaan Garis
a. Persamaan dengan gradien m melalui P (x1, y1) adalah y - y1 = m (x - x1
b. Persamaan garis yang melalui dua titik P (x1, y1) dan Q (x2, y2) adalah : 

c. Garis Yang Membagi Bidang Menjadi Dua Bagian
3. Program Linear
Di dalam program linier kita akan menemukan sebuah fungsi linier yang disebut fungsi tujuan atau 
fungsi objektif dan sebuah sistem pertidaksamaan linier yang disebut kendala atau batasan.

Program linier untuk dua variabel dapat ditulis dengan : 

Maksimum  , dengan batasan :  

, Atau 

Minimun , dengan batasan :  


Persoalan yang ada adalah bagaimana menentukan nilai x dan y yang terdapat pada kendala yang membuat fungsi tujuan f (x,y) menjadi optimum (maksimum/minimum).
 

Contoh : 
Tentukan nilai maksimum :  , dengan batasan :  

Jawab : 
Himpunan Penyelesaian dari sistem Pertidaksamaan :  adalah daerah yang diarsir pada grafik dibawah ini : 
 

Titik-titik ekstrim dari himpunan penyelesaian (HP) adalah : 
O (0,0); A (2,0); C (0,2) dan  

Titik A merupakan titik potong garis 3x + y = 6 dengan sumbu x, yaitu:
 
y = 0 --> 3x + 0 = 6 
x = 2
Jadi A (2,0) 
Titik C merupakan titik potong garis x + 2y = 4 dengan sumbu y, yaitu : 
x = 0  0 + 2y = 4
y = 2
Jadi C (0,2)

Titik B merupakan titik potong garis 3x + y = 6, dengan garis x + 2y = 4, yaitu : 

 
Titik O merupakan titik potong garis x = 0 dengan y = 0 
Nilai f (x,y ) = 4x + y pada setiap titik ekstrim adalah : 
f (o) = f (0,0) = 4 (0) + 0 = 0
f (A) = f (2,0) = 4 (2) + 0 = 8
f (C) = f (0,2) = 4 (0) + 2 = 2 

Nilai f (x, y) paling besar adalah 8, yang diperoleh pada titik ekstrim A (2,0)


Sabtu, 27 Juli 2013

Rumus Trigonometri Matematika

Rumus trigonometri umum
Sudut-Sudut Istimewa sin cos tan 0 30 45 60 90 derajat
Aturan sin cos tan lain

Rumus-rumus Trigonometri pada segitiga dengan sisi a b c
Aturan sinus

Aturan Cosinus

Luas Segitiga 2 sisi dan 1 sudut

Luas segitiga dengan 3 sisi akan dibahas lain waktu
Rumus jumlah 2 sudut trigonometri sin cos tan

sepertinya gambar ini ada yang salah, nanti diperbaiki
Sudut 2A atau sin 2x, cos 2x, tan 2x
Rumus kali trigonometri sin cos cos sin cos cos -sin sin
Rumus jumlah 2 trigonometri sin cos cos sin cos cos -sin sin
Persamaan Trigonometri mudah sekali dikerjakan
Bentuk a Cos x + b Sin x = k cos x-teta
Bentuk a Cos x + b Sin x = c
Nilai Maksimum dan Minimum Fungsi f(x) =a Cos x + b Sin x
byhttp://www.rumus.web.id

Jumat, 26 Juli 2013


1. 360° = 2π radian
    π radian = 360°/2 = 180°
  Jadi, π radian = 180°

2. 1° = π /180° radian
         = 3,14159/180 radian
   Jadi, 1° = 0,02 radian

3. 1 radian = 180°/π
                   = 180/3,14159
     Jadi, 1° radian = 57,296° atau 57,3°

 1.  Sin 0°   = 0
      Sin 30° = 1/2
      Sin 45° = 1/2 √2
      Sin 60° = 1/2 √3 
      Sin 90° = 1 

2. Cos 0°   = 1
    Cos 30° = 1/2 √3
    Cos 45° = 1/2 √2
    Cos 60° = 1/2
    Cos 90° = 0
 

3.  Tan 0°   = 0
     Tan 30° = 1/3 √3
     Tan 45° = 1
     Tan 60° = √3
     Tan 90° = 

 4. Cosc A = 1/sin A
     Sec A    = 1/Cos A
     Cotg A  = 1/Tg A

Rumus2 :

Kuadran II   = (180° - α)
Kuadran III  = (180° + α)
Kuadran IV  = (360° - α)
Untuk 0° < α < 90° 




Contoh Soal :
1. Sin 150° = Sin (180° - 30°)                                      
                     = Sin 30°                                                            
                     = 1/2                                                                   

2. Cos 120° = Cos (180° - 60°)
                      = - Cos 60°
                      = -1/2

3. Tan 315° = Tan (360° - 45°)
                      = - Tan 45°
                      = -1     

Jadi, Sin (-α)  = - Sin α 
         Tan (-α) = - Tan α
         Cos (-α) = Cos α 
Contoh Soal :
1. Sin (-960°) = - Sin 960°
                         = - Sin 240°
                         = - Sin (180° + 60°)
                         = - Sin (-Sin 60°)
                         = 1/2 √3

2. Tan (-1395°) = - Tan 1395
                            = - Tan 315
                            = - Tan (360° - 45°)
                            = - Tan (-Tan 45°)
                            = 1

3. Cos (-600°) = Cos 600°
                          = Cos 240°
                          = Cs (180° + 60°)
                          = - Cos 60°
                          = -1/2

* PERSAMAAN TRIGONOMETRI * 

1. f : x => ax + b (Pemetaan)
2. f(x) = ax + b (Rumus)
3. f = ax + b (Persamaan)

Contoh Soal :
1. f : x => 2 Sin x + cos 2x
    f(45°) = ...
    Jawaban :
   f(x) = 2 sin x + cos 2x
   f(45°) = 2 sin (45°) + cos 2(45°)
              = 2 sin 45° + cos 90°
              = 2 . 1/2√2 + 0
              = √2 

* PERBANDINGAN TRIGONOMETRI * 


1. Sin A   = y/r           4. Cosc A = r/y
2. Cos A  = x/r           5. Sec A    = r/x
3. Tan A  = y/x           6. Cotg A = x/y


* PERSAMAAN TRIGONOMETRI * 


A. Sin x = Sin a
           x1 = a + k . 360
           x2 = (180 - a) + k . 360
     k  Bilangan Bulat
     k = { ... , ... , -2 , -1 , 0 , 1 , 2 , ... }

Contoh Soal : 
1. Tentukan HP dr 2 sin x = 1 , 0° < x < 360°
    Jawaban :
   * 2 Sin x = 1
         Sin x = 1/2 (kuadran I dan II)
         Sin x = Sin 30°
               x = 30° + k . 360° 
     k = 0 => x1 = 30° + 0 . 360° = 30°
               => x2 = (180° - 30°) + 0 . 360° = 150° 
    Jadi, HP {30° , 150°}

2.Tentukan HP dr 2 sin 2x = -√3 , 0° < x < 360° 
   Jawaban :
  * 2 Sin 2x = -√3
        Sin 2x = -√3/2 (kuadran III dan IV)
        Sin 2x = Sin (180° + 60°)
        Sin 2x = Sin 240°
              2x = 240° + k . 360°
                x1 = 120° + k . 180°
      k = 0 => x1 = 120° + 0 .180° = 120°
      k = 1 => x1 = 120° + 1 . 180° = 300°
                2x = (180° - 240°) + k . 360°
                2x = - 60° + k . 360°
                  x2 = - 30° + k . 180°
       k = 1 => x2 = - 30° + 1 . 180° = 150°
       k = 2 => x2 = - 30° + 2 . 180° = 330°
       Jadi, HP {120° , 150° , 300° , 330°}

B. Cos x = Cos a
            x1 = a + k . 360°
            x2 = - a + k . 360°
      Bilangan Bulat
     k = { ... , ... , -2 , -1 , 0 , 1 , 2 , ... }

Contoh Soal :
1. Tentukan HP dr cos x = -1/2 , 0° < x < 360°
     Jawaban :
    * Cos x = -1/2 (kuadran II dan III)
       Cos x = Cos (180° - 60°)
       Cos x = Cos 120
             x1 = 120° + k . 360°
       k = 0 => x = 120° + 0 . 360° = 120°
             x= - 120° + k . 360°
       k = 1 => x = - 120° + 1 . 360° = 240°
       Jadi, HP {120 , 240} 

2. Tentukan HP dr 2 cos 3x = - √3 0° < x < 360°
    Jawaban :
   * 2 cos 3x = - √3
         cos 3x = - √3/2 (kuadran II dan III)
         cos 3x = (180° - 30° )
         cos 3x = 150°
                3x = 150° + k . 360°
                  x1 = 50° + k . 120°
      k = 0 => x1 = 50° + 0 . 120° = 50°
      k = 1 => x= 50° + 1 . 120° = 170°
                  x2 = - 50° + k . 120°
      k = 1 => x2 = - 50° + 1 . 120° = 70°  
      Jadi, HP {50° , 70° , 170°

C. Tan x = tan a
            x = a + k . 180°
      Bilangan Bulat
     k = { ... , ... , -2 , -1 , 0 , 1 , 2 , ... }

Contoh Soal :
1. Tentukan HP dr tan 2x = - √3/3 , 0° < x < 360°
    Jawaban :
   * tan 2x = √3/3 (kuadran II dan IV)
      tan 2x = (180° - 30°)
      tan 2x = 150°
             2x = 150° + k . 180°
               x1 = 75° + k . 90°
       k = 0 => x1 = 75° + 0 . 90° = 75°
       k = 1 => x1 = 75° + 1 . 90° = 165°
      Jadi, HP {75° , 165°}

* Mengubah Koordinat Kartesius ke Koordinat Kutub * 

 








r = √(x2 + y2)
Tan α = y/x

Rumus2 :

1. II   = 180° - α
2. III = 180° + α
3. IV  = 360° - α 

Contoh Soal :
1. Nyatakan A (-4 , 2√2 ) dalam koordinat kutub
    Jawaban :
    r = √{(-4)2 + (2√2)2}
       = √(16 + 8)
       = √24
       = 2√6 
   Tan α = 2√2/-4
              = -1/2 √2 (kuadran II)
              = 180° - 35°
              = 145°
   Jadi, A (2√6 , 145°)

2. Nyatakan B (-2 , -2) dalam koordinat kutub
    Jawaban :

    r = {(-2)2 + (-2)2}
       = (4 + 4)
       = 8
       = 2 2
  Tan α = -2/-2
          α = 1 (kuadran III)
          α = 180° + 45° 
          α = 225° 
   Jadi, B (2√2 , 225° )


* Mengubah Koordinat Kutub ke Kartesius * 

Cos α = x/r
        x = r cos α

Sin α = y/r
       y = r sin α 

Contoh Soal :
1. Nyatakan C (10 , 240) dalam koordinat kutub
    Jawaban :
    x = r cos α           dan       y = r sin α
       = 10 cos 240°                    = 10 sin 240°
       = 10 (-1/2)                        = 10 (-1/2 3)
       = -5                                   = -5 3
    Jadi, C (-5 , -5 3)

* ATURAN SINUS *
  
a/sinα = b/sinβ = c/sinγ



Catatan : Ciri utama aturan Sinus yang diketahuiharus ada sudut dan sisi di depan sudut, serta salah satu sudut. Maka sisi di depan sudut tersebut bisa dihitung.