Linda Kurnia Lany

Langkah2 menggambar grafik y = ax² + bx +c adalah sebagai berikut :

1. Titik potong sumbu x, y = 0

2. Titik potong sumbu y, x = 0

3. Persamaan sumbu simetri -b/2a

4. Menentukan nilai maksimum dan minimum b²- 4ac/-4a

5. Koordinat titik puncak (ekstrim) {(-b/2a),(b²- 4ac/-4a)}

=> Apabila dari langkah 1 - 5 belum terbentuk sketsa parabola maka ambillah titik bantu yaitu nilai x di sekitar persamaan sumbu simetri.

Contoh Soal :

1. Gambarlah graik fungsi kuadrat y = x² - 4x - 5

Jawaban :

a. Titik potong sumbu x, y = 0.

y = x² - 4x - 5 => 0 = (x - 5) (x + 1) , x = -1 , 5

0 = x² - 4x - 5 Titik potong sumbu x (-1,0) dan (5,0)

b. Titik potong sumbu y, x = 0.

y = x² - 4x - 5 Gambar Grafik

y = (0)² - 4(0) - 5

y = -5

maka titk potong sumbu y adalah (0,-5)

c. Persamaan sumbu simetri -b/2a

= -(-4)/2.1

= 2

d. Nilai maks/min b²- 4ac /-4a

= {(-4)² - 4.1.(-5)} / -4(1)

= 36/-4

= -9

e. Titik puncak {(-b/2a),(b²- 4ac/-4a)}

= (2,-9)

Membentuk Fungsi Kuadrat
1. Menentukan fungsi kuadrat yang grafiknya melalui 3 buah titik.
menggunakan y = ax² + bx +c

Contoh Soal :
* Tentukan fungsi kuadrat grafiknya mel. 3 buah titik (-1,0), (2,-9) dan (4,-5)

Jawaban :

melalui (-1,0) => y = a(-1)²+ b(-1) + c

0 = a - b + c ... (1)

melalui (2,-9) => y = a(2)²+ b(2) + c

-9 = 4a + 2b + c ... (2)

melalui (4,-5) => y = a(4)²+ b(4) + c

-5 = 16a + 4b + c ... (3)

Dari (1) - (2) => -3a - 3b = 9 ... (4)

Dari (2) - (3) => -12a - 2b = -4 ... (5)

Dari (4) x 4 => -12a - 12b = 36 ... (4)'

Dari (5) - (4)' => 10b = -40

b = -4

Substitusikan b = -4 ke (4)

maka => -3a + 12 = 9

-3a = -3

a = 1

Substitusikan a = 1 dan b = -4

maka => 1 - (-4) + c = 0

5 + c = 0

c = -5

Sehingga fungsi kuadratnya => y = x²- 4x - 5

2. Menentukan fungsi kuadrat jika koordinat titik puncak diketahui.

    menggunakan y = a(x - p)²+ q titik puncak (p,q)
  Contoh Soal :
* Tentukan fungsi kuadrat yang grafiknya mempunyai titik puncak (2,-9)
        serta melalui titik (-1,0)
    Jawaban :
    y = a(x - p)²+ q
   = a(x - 2)²- 9
   melalui (-1,0) => y = a(x - 2)²- 9
                                 0 = a(-1 - 2)²- 9
                                 9 = 9a
                                 a = 1
   Jadi, fungsi kuadratnya => y = 1(x - 2)²- 9
                                                       = (x²- 4x + 4) - 9
                                                       = x²- 4x - 5

3. Menentukan fungsi kuadrat yang grafiknya mmotong sumbu x di titik (p,0) dan (q,0)

    menggunakan y = a(x - p) (x - q)
  Contoh Soal :
* Tentukan fungsi kuadrat yang grafiknya memotong sumbu x di titik (-1,0) dan (5,0).
        serta melalui (4,-5)
    Jawaban :
y = a(x - p) (x - q)
       = a{x -(-1)}(x - 5)
   = a(x + 1) (x - 5)
   kerna melalui (4,-5) maka
   -5 = a(4 + 1) (4 - 5)
   -5 = -5a
    a = 1
   Jadi, fungsi kuadratnya : y = 1(x + 1) (x - 5)
                                                   = x²- 4x - 5

Bentuk Umum Persamaan Kuadrat dalam x => ax² + bx + c =o (a,b,c € R) dan a ≠ 0

Cara menyelesaikan persamaan kuadrat ada 3, yaitu :

1. Memfaktorkan => (x-a) (x-b) = 0

Contoh :

a. X²+ 12x +32 = 0 => (x + 4) ( x + 8)

b. X² + x – 56 = 0 => (x + 8) (x – 7)

c. X² -6x – 27 = 0 => (x – 9) (x + 3)

d. 2x² – 5x – 3 = 0 => (2x – 1) (x + 3)

e. 3x² – 6x = 0 => 3x(x – 2)

2. Melengkapi Kuadrat Sempurna => (x - p)² = q

Ada beberapa langkah, yaitu :

1. Koefisien x² harus 1

2. Konstanta pindah ke ruas kanan {-> x² + mx = n

3. Diubah ke bentuk kuadrat sempurna (x + p)² = q

Contoh :

a. x² + 8x + 12 = 0

x² + 8x = -12

x² + 8x + (1/2 . 8)² = -12 + (1/2 . 8)²

x² + 8x + 16 = -12 + 16

(x + 4)² = 4

x + 4 = ±√4

x = -4 ± 2

x = -6 , -2

3. RUMUS ABC => x_1,2 = { -b ± √(b² - 4ac) } / 2a

Contoh :

a. x² + 8x + 5 => x_1,2= { -8 ± √(8² – 4.1.5) } / 2.1

= { -8 ± √(64 – 20) } / 2

= ( -8 ± √39 ) / 2

Penjumlahan dan Pekalian akar2 Penyelesaian Persamaan Kuadrat
dari x_1,2 = { -b ± √(b² - 4ac) } / 2a dengan D = b² - 4ac maka x₁ = (-b + √D) / 2adan x₂ = (-b - √D) / 2a
* D adalah Deskriminan

1. x₁ + x₂ = {(-b + √D) / 2a} + {(-b - √D) / 2a}

= (-b + √D - b - √D) / 2a

= -2b / 2a

= -b /a
Jadi, x₁ + x₂ = -b/a

2. x₁ - x₂ = {(-b + √D) / 2a} - {(-b - √D) / 2a}

= (-b + √D + b + √D) / 2a

= 2√D / 2a

= √D /a

Jadi, x₁ - x₂ = √D/a

3. x₁ . x₂ = {(-b + √D) / 2a} {(-b - √D) / 2a}

= (b² - D) / 4a²

= b² - (b² - 4ac) / 4a²

= (b² - b² + 4ac) / 4a²

= 4ac / 4a²

= c/a

Jadi, x₁ . x₂ = c/a

4. (x₁ + x₂)² =x₁² + 2(x₁ . x₂) + x₂²
(x₁ + x₂)²- 2(x₁ . x₂) = x₁² + x₂²
Jadi, x₁² + x₂² = (x₁ + x₂)² - 2(x₁ . x₂)

5. (x₁ + x₂)³ =x₁³+ 3x₁². x₂ + 3x₁. x₂² + x₂³
(x₁ + x₂)³-  3x₁². x₂ + 3x₁. x₂² = x₁³ + x₂³
          (x₁ + x₂)³-  3x₁.x₂(x₁ + x₂) = x₁³ + x₂³
Jadi, x₁³ + x₂³= (x₁ + x₂)³-  3x₁.x₂(x₁ + x₂)

contoh soal!

1. Persamaan kuadrat -2x²+4x-5=0 akar2nya α dan β

Tentukan : a. α + β d. α³ + β³

b. α . β e. 1/α + 1/β

c. α² + β² f. 1/(α+2) + 1/(β+2)

Jawaban :

a. α + β = -b/a = 2

b. α . β = c/a = 5/2

c. α² + β² = (α + β)² - 2(α . β)

= 2² - 2.5/2

= 4 - 5

= -1

d. α³ + β³ = (α + β)³ - 3α.β (α+β)

= 2³ - 3.5/2.2

= 8 - 15

= -7

e. 1/α + 1/β = (α + β) / αβ

= 2 / (5/2)

= 4/5

f. 1/(α+2) + 1/(β+2) = {(α+2) + (β+2)} / {(α+2) (β+2)}

= {(α+β) + 4} / {α.β + 2(α+β) + 4}

= (2+4) / (5/2 + 2.2 + 4)

= 6 / (21/2)

= 12/21

= 4/7

Menyusun Persamaan Kuadrat Baru

Ada 2 cara untuk menyusun persamaan kuadrat baru yang akar2nya x₁ dan x₂ yaitu,

1. (x - x₁) (x - x₂) = 0

Contoh soal : Susunlah Persamaan kuadrat baru yang akar2nya adalah

a. 2 dan 7 => PKB = (x - 2) (x -7)

= x²- 9x +14

b. -3 dan -4 => PKB = {x-(-3)} {x-(-4)}

= (x+3) (x+4)

= x² + 7x + 12

c. -7 dan 2 => PKB = {x-(-7)} (x-2)

= (x+7) (x-2)

= x² + 5x - 14

d. 5 dan -2 => PKB = (x-5) {x-(-2)}

= (x-5) (x+2)

= x² - 3x - 10

2. x² - (x₁ + x₂)x + x₁.x₂ = 0

Contoh soal :

1. Susunlah Persamaan Kuadrat baru yang akar2nya adalah 2+√5 dan 2-√5!

Jawaban : x₁ + x₂ = (2+√5) +(2-√5) = 4

x₁.x₂ = (2+√5) (2-√5) = -1

Jadi, PKB => x² - (x₁ + x₂)x + x₁.x₂ = 0

=> x² - 4x - 1 = 0

2. x₁ dan x₂ adalah akar2 persamaan kuadrat x² - 2x + 5 = 0. Susunlah persamaan kuadrat baru yang akar2nya 3 lebihnya dari akar2 persamaan kuadrat yang diletahui.

Jawaban : x₁ + x₂ = -b/a = 2 dan x₁.x₂= c/a = 5

x₁ = (x₁ + 3) dan x₂ = (x₂ + 3)

maka, x₁ + x₂ = (x₁ + 3) + (x₂ + 3) dan x₁.x₂= (x₁ + 3) (x₂ + 3)

= (x₁ + x₂) + 6 = x₁.x₂ + 3(x₁+x₂) + 9

= 2 + 6 = 5 + 3.2 + 9

= 8 = 20

Jadi, PKB => x² - (x₁ + x₂)x + x₁.x₂ = 0

=> x² - 8x + 20 = 0

* Deskriminan (D) => D = b²- 4ac *

untuk menentukan jenis akar2 persamaan kuadrat, rumusnya :

a. D = 0 => Mempunyai 2 akar yang sama

b. D < 0 => Tidak mempunyai akar nyata (akar2nya imajiner)

c. D ≥ 0 => Mempunyai 2 akar nyata

d . D > 0 => Mempunyai 2 akar nyata dan berlawanan

Contoh Soal :

1. Tentukan nilai k agar persamaan kuadrat kx²+ 3x + k = 0 mempunyai 2 akar sama/kembar

Jawaban : Syarat akar kembar D = 0, maka

b²- 4ac = 3²- 4.k.k

0 = 9 - 4k²

4k²= 9

k = √(9/4)

k = ± 3/2

2. Tentukan m agar persamaan kuadrat berikut x² - 2x + (m+1) = 0 Tidak mempunyai akar nyata.

Jawaban : Syarat tidak mempunyai akar nyata D < 0, maka

b² - 4ac < 0

2² - 4.1.(m+1) < 0

4 - 4m - 4 < 0

0 - 4m < 0

- 4m < 0

m > 0

3. Tentukan P agar persamaan kuadrat x² + px + p = 0 mempunyai 2 akar real dan berbeda.

Jawaban : Syarat akar real dan berbeda D > 0, maka

b² - 4ac > 0

p² - 4.1.p > 0

p² - 4p > 0

p(p - 4) > 0

Jadi, p < 0 dan p > 4

Linda Kurnia Lany

Kamis, 25 Juli 2013

FUNGSI KUADRAT dan GRAFIKNYA

Langkah2 menggambar grafik y = ax² + bx +c adalah sebagai berikut :

PERSAMAAN KUADRAT

Kamis, 25 Juli 2013

FUNGSI KUADRAT dan GRAFIKNYA

Langkah2 menggambar grafik y = ax2 + bx +c adalah sebagai berikut :

PERSAMAAN KUADRAT

Langkah2 menggambar grafik y = ax² + bx +c adalah sebagai berikut :