Linda Kurnia Lany: Persamaan Lingkaran

by http://id.wikibooks.org

Persamaan lingkaran

Lingkaran dengan jari-jari r=1, berpusat di (a,b)=(1,2 , 0,5)

Persamaan Lingkaran adalah tempat kedudukan titik-titik (x,y) yang berjarak sama terhadap satu titik tertentu.
Persamaan umum lingkaran adalah:

$\boldsymbol (x-x_p)^2 + (y-y_p)^2 = r^2$

Penting! Bagi siswa SMA, Anda diharuskan hafal rumus persamaan umum lingkaran karena keluar dalam ujian nasional!

Mencari jarak antara 2 titik A (x₁,y₁) dan B (x₂,y₂):

$r = \sqrt { (x_1-x_2)^2 + (y_2-y_1)^2}$

Mencari jarak antara titik A (x₁,y₁) dan garis Ax+By+C=0 :

$d = \left\vert \frac {Ax_1+By_1+C}{\sqrt {A^2+B^2}} \right\vert$

Mencari jari-jari (r) jika diketahui persamaan lingkaran $x^2 + y^2 + Ax + By + C=0$ :

$r= \sqrt {\frac {1}{4}A^2 + \frac {1}{4}B^2 - C}$

Contoh 1:
Tentukan persamaan lingkaran yang berpusat di A(2,7) dan melalui B(5,3)!
Jawab:

$r= \sqrt { (5-2)^2 + (3-7)^2}$

$r= \sqrt {25}$

$r= 5$

$\boldsymbol (x-x_p)^2 + (y-y_p)^2 = r^2$

$\boldsymbol (x-2)^2 + (y-7)^2 = 25$

$x^2+y^2-4x-14y+28=0$

Contoh 2:
Tentukan persamaan lingkaran yang berpusat di puncak parabola $y=x^2-2x+5$ dan menyinggung garis $3x+4y+5=0$ !
Jawab:

$y=x^2-2x+5$

$x_p = - \frac {b}{2a} = - (\frac {-2}{2})= 1$

$y_p = 1^2 - 2 \times 1 + 5 = 4$

maka berarti titik pusatnya berada pada koordinat (1,4).

$3x+4y+5=0$

$A=3, B=4, C=5$

$d = r = \left\vert \frac {Ax_1+By_1+C}{\sqrt {A^2+B^2}} \right\vert$

$d = r = \left\vert \frac {3 \times 1 + 4 \times 4 + 5}{\sqrt {3^2+4^2}} \right\vert$

$d = r = \frac {24}{5}$

$\boldsymbol (x-x_p)^2 + (y-y_p)^2 = r^2$

$\boldsymbol (x-1)^2 + (y-4)^2 = \frac {576}{25}$

$x^2+y^2-2x-8y+17 - \frac {576}{25}=0$

$25x^2+ 25y^2 - 50x - 200y - 151=0$

Kedudukan garis terhadap lingkaran

Untuk mengetahui kedudukan/ posisi sebuah garis terhadap lingkaran, substitusikan garis terhadap lingkaran sehingga didapatkan bentuk ax²+bx+c=0.
Lihat diskriminannya: $D=b^2-4 ac$
Jika

D<0, berarti garis berada di luar lingkaran (tidak memotong lingkaran)
D=0, berarti garis menyinggung lingkaran
D>0, berarti garis memotong lingkaran di 2 titik berbeda.

Contoh 1:

Tentukan posisi garis:
- $y= x+10$ terhadap lingkaran $x^2+y^2= 9$

Jawab:

$x^2 + (x+10)^2=9$

$x^2+ (x^2+20x+100)-9=0$

$2x^2 +20x+91=0$

$D=b^2-4 ac$

$D=20^2- 4\times 91 \times 2$

$D= 400-728= -328$

Karena $D<0$ , maka garis berada di luar lingkaran.
Contoh 2:

Tentukan p agar garis $y= -x+p$ terletak di luar lingkaran $x^2+y^2-2x-4y+3=0$ !

Jawab:

$x^2+ (-x+p)^2 - 2x- 4(-x+p)+ 3=0$

$2x^2 - 2px + p^2 - 2x + 4x -4p + 3=0$

$2x^2 + (2-2p)x + p^2 -4p + 3=0$

syarat: $D<0$

$(2-2p)^2-4(2)(p^2-4p+3)<0$

$4p^2-8p+4-8p^2+32p-24<0$

$-4p^2+24p-20<0$

$-4(p^2-6p+5)<0$

$-4(p-5)(p-1)<0$

$p=5$ atau $p=1$

Gambar dengan garis bilangan untuk pertidaksamaan diatas, maka akan didapatkan nilai p: $p<1$ atau $p>5$

Persamaan garis singgung lingkaran

Perhatian! Persamaan garis singgung lingkaran merupakan salah satu bahan yang diujikan dalam ujian nasional.

Persamaan garis singgung untuk suatu titik (x₁,y₁) yang terletak pada lingkaran

Jika persamaan lingkaran $x^2+y^2=r^2$ , maka persamaan garis singgungnya:

$x_1x + y_1y = r^2$

Jika persamaan lingkaran $(x-x_p)^2+ (y-y_p)^2=r^2$ , maka persamaan garis singgungnya:

$(x_1-x_p)(x-x_p) + (y_1-y_p)(y-y_p) = r^2$

Jika persamaan lingkaran berbentuk $x^2 + y^2 + Ax + By + C =0$ , maka persamaan garis singgungnya:

$x_1x + y_1y + \frac {1}{2} A(x+x_1) + \frac {1}{2} B(y+y_1)+C=0$

Persamaan lingkaran $x^2 + y^2 + Ax + By + C =0$ dapat juga diubah menjadi $(x-x_p)^2+ (y-y_p)^2=r^2$ dengan kuadrat sempurna, sehingga rumus yang harus dihafalkan jadi lebih sedikit.

Persamaan garis singgung lingkaran dengan gradien m

$y = mx \pm r \sqrt {m^2+1}$ atau $y-y_p = m (x-x_p) \pm r \sqrt {m^2+1}$

Linda Kurnia Lany

Senin, 05 Agustus 2013

Persamaan Lingkaran

by http://id.wikibooks.org

Persamaan lingkaran

Kedudukan garis terhadap lingkaran

Persamaan garis singgung lingkaran

Persamaan garis singgung untuk suatu titik (x₁,y₁) yang terletak pada lingkaran

Persamaan garis singgung lingkaran dengan gradien m

Tidak ada komentar:

Posting Komentar

Senin, 05 Agustus 2013

Persamaan Lingkaran

by http://id.wikibooks.org

Persamaan lingkaran

Kedudukan garis terhadap lingkaran

Persamaan garis singgung lingkaran

Persamaan garis singgung untuk suatu titik (x1,y1) yang terletak pada lingkaran

Persamaan garis singgung lingkaran dengan gradien m

Tidak ada komentar:

Posting Komentar

Persamaan garis singgung untuk suatu titik (x₁,y₁) yang terletak pada lingkaran