Rumus-rumus Umum dalam Trigonometri I

Materi trigonometri merupakan materi SMA yang cukup luas sehingga penyampaiannya dibagi2 dalam beberapa bab dan disampaikan di semua tingkatan kelas dari kelas satu sampai kelas tiga. bahkan ada yang disampaikan dalam materi pada bab2 lainnya seperti Turunan, Integral, Limit dan lain sebagainya....

untuk membantu kalian dalam menghafal rumus2 dalam trigonometri ini saya menyusunnya dalam beberapa artikel yang berkelanjutan. tentu saja tidak semua rumus dapat ditampilkan disini namun rumus2 yang ada disini merupakan rumus2 umum yang dapat kalian kembangkan dalam rumus2 pengembangan untuk menyelesaikan soal2 trigonometri dalam bab2 lain seperti dalam bab turunan, integral atau limit fungsi.

langsung saja....inti trgonometri ini merupakan  :

Perbandingan Sisi-sisi dalam Segitiga Siku2 :

cara menghafal perbandingan di atas sangat mudah dan telah dipraktekkan secara luas. mereka menghafal rumus trigonometri di atas dengan memberi nama pada tiap sisi segitiga siku2 yang akan dicari nilai trigonometrinya......

 depan = sisi tegak di depan sudut yang akan dicari nilainya dan disingkat "de"

 samping = sisi tegak di samping sudut yang akan dicari nilainya dan disingkat "sa"

 miring = sisi miring dari segi tiga siku2 tersebut dan disingkat "mi"

contoh penerapannya :

 sin = demi berarti depan per miring dan cos = sami berarti samping per miring

 Sudut lebih besar dari 90⁰ sampai 360⁰

sekarang kita membahas sudut2 yang besarnya lebih dari 90⁰⁰...untuk memahami hal ini sudut2 tersebut kita gambarkan dalam diagram kartesius dan besarnya sudut dihitung dari sumbu x+ diputar berlawanan dengan arah jarum jam / ke atas. kemudian keempat daerah yang terdapat dalam diagram kartesius tersebut di beri nama "kuadran" yang terdiri dari 4 daerah seperti gambar di bawah ini.

sebelum kita membahas rumus2 dalam tiap2 kuadran terlebih dahulu kita harus paham dan cepat dalam menentukan suatu sudut masuk dalam kuadran yang mana....

kuadran I terletak antara sudut 0⁰ - 90⁰

kuadran I terletak antara sudut 90⁰ - 180⁰

kuadran I terletak antara sudut 180⁰ - 270⁰ 

kuadran I terletak antara sudut 270⁰ - 360⁰

sebagai contoh sudut 230⁰ berarti terletak di kuadran III dan 120⁰ terletak di kuadran II

selanjutnya kita merubah besarnya sudut2 tersebut berdasarkan rumus2 dalam tiap2 kuadran....setiap kuadran mempunyai dua buah rumus yang berbeda. hal ini terjadi karena perbedaan sumbu acuan dalam menentukan besarnya sudut perubahannya....


 sebagai contoh :

 sudut 120⁰ berarti terletak di kuadran kedua kemudian sudut ini kita ubah dengan mengacu batas2 kuadran II yakni sumbu X- dan sunbu Y+. bila kita mengacu dengan sumbu X maka besarnya berubah menjadi 60⁰ berasal dari sudut 120⁰ kita ubah menjadi (180⁰-60⁰) kemudian angka yang kita pakai angka 60⁰ nya aja. sedangkan bila kita mengacu pada sumbu Y maka besarnya berubah menjadi 30⁰ yang berasal dari sudut 120⁰ kita ubah menjadi (90⁰+30⁰) dan angka yang kita pakai adalah angka 30⁰ aja......

 kemudian berdasarkan apa kita merubah-ubah besarnya angka dalam sudut yang kita cari? tentu saja berdasarkan rumus2 seperti yang tersantum di bawah ini :

a.  Sudut Mengacu pada Sumbu X

di kwadran I semua hasil trigonometri bernilai positif, di kwadran II yang bernilai positif (+) hanya sin sedangkan yang lainnya bernilai negatif (-), di kwadran III yang bernilai positif hanya nilai tg dan ctg sementara di kwadran IV yang bernilai positif hanya cos nya saja. sehinga yang bernilai positif dari kwadran I sampai IV dihafal dengan kata "All-sin-tg-cos" (all berarti semua bernilai positif)

b. Sudut Mengacu pada Sumbu Y

 

bila kalian perhatikan hafalan "All-sin-tg-cos" masih berlaku dalam rumus2 ini. sebagai contoh di kwadran II nilai sin nya tetap positif (+) walaupun setelah masuk rumus berubah menjadi cos. jadi penentuan nilai positif/negatif pada tiap2 kwadran ditentukan sebelum nilainya dirubah berdasarkan rumus dalam tiap2 kwadrannya.

setelah melihat rumus2 di atas kalian tentunya akan lebih mudah memahami tentang contoh yang saya kemukakan sebelumnya....yakni tentang perubahan nilai sudut 120⁰ :

>> nilai sin 120⁰ dengan mengacu perubahan sudut pada sumbu x berubah menjadi sin (180⁰-60⁰) karena 180⁰ - 60⁰ = 120⁰ dan menurut rumus di atas nilai ini setara dengan sin 60, jadi kesimpulannya sin 120⁰ = sin 60⁰ 

>> nilai sin 120⁰ dengan mengacu sumbu Y berubah menjadi sin (90⁰+30⁰) dan nilai ini setara dengan cos 30⁰, jadi kesimpulannya sin 120⁰ = cos 30⁰

>> nilai cos 120⁰ dengan mengacu sumbu X berubah menjadi cos (180⁰-60⁰) dan nilai ini setara dengan -cos 60⁰, jadi cos 120⁰ = - cos 60⁰

 >> nilai cos 120⁰ dengan mengacu sumbu Y berubah menjadi cos (90+30) dan berdasarkan rumus nilai ini setara dengan - sin 30⁰, jadi cos 120⁰ = - sin 30⁰

saya berharap dengan contoh di atas kalian menjadi lebih jelas....jadi sebagai patokan :

>> harga +/- dihafalkan dengan kata "all-sin-tg-cos" dengan mengacu sin/cos/tg sebelum masuk rumus

>> bila kita mengacu sumbu X (180⁰-...di kwadran II, 180⁰+...di kwadran III dan 360⁰-...di kwadran IV nilai sin tetap jadi sin, nilai cos tetap jadi cos dan nilai tg tetap jadi tg

>> bila kita mengacu sumbu Y (90⁰-...di kwadran I, 90⁰+...di kwadran II, 270⁰-...di kwadran III dan 270⁰+...di kwadran IV nilai sin berubah menjadi cos, nilai sin berubah menjadi sin dan nilai tg berubah menjadi ctg

Sudut Yang Lebih Dari 360⁰ atau Kurang Dari 0⁰

selanjutnya bagaimana dengan sudut yang lebih dari 360⁰ atau kurang dari 0⁰ (negatif)? caranya sudut tersebut kita +/- dengan 360⁰ atau kelipatannya hingga harganya antara 0⁰ - 360⁰

misalnya : cos 950⁰ = cos (950⁰-720⁰) = cos 230⁰ jadi terletak di kwadran III maka cos 230⁰ = - cos 50⁰

nilai 720⁰ berasal dari kelipatan 360⁰...mengapa yang digunakan 720⁰ bukan 360⁰? karena 950⁰-360⁰=590⁰ nilai ini belum berada dalam kisaran sudut 0⁰ - 360⁰ jadi kita gunakan 950⁰-720⁰=230⁰.

 Persamaan Trigonometri
Setelah kita mengenal dan memahami perubahan2 berbagai sudut selanjutnya kita bahas beberapa persamaan dalam trigonometri...

dengan menggunakan ketiga persamaan di atas ditambah hubungan antara sin, cos, tg, ctg sec dan csec yang telah ditampilkan sebelumnya dapat dikembangkan menjadi berbagai soal persamaan trigonometri. biasanya kita disuruh untuk menyederhanakan suatu persamaan atau membuktikan nilai kebenaran antara dua persamaan...

sedikit tips yang dapat kalian gunakan untuk menyelesaikan soal2 tersebut adalah :

merubah setiap bentuk tg, ctg, sec dan csec menjadi sin dan/atau cos kemudian disederhanakan

dalam soal pembuktian kalian pilih ruas yang paling rumit persamaannya untuk dijadikan sama dengan ruas yang persamaannya lebih sederhana. karena menyederhanakan lebih mudah dari menguraikan ke bentuk2 yang tidak tetap.

bila soal berwujud dalam pecahan2 langkah awaql yang kalian lakukan adalah menggabungkan pecahan2 tersebut menjadi satu dengan menyamakan penyebutnya.

bila soal berwujud pecahan yang dikominasi dengan penjumlahan/pengurangan dapat kalian coba mengalikan dengan sekawannya...